Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 29 - 32)

Задание 29. Планиметрия
На рисунке изображена траектория движения автомобиля из пункта А в пункт В. Она состоит из трёх прямолинейных участков: АК, КМ и МВ. Определите расстояние d между пунктами А и В, если АК = 60 км, КМ = 120 км, МВ = 100 км (все отрезки лежат в одной плоскости)


Решение
Если отрезок МВ параллельно перенести вправо так, чтобы точка М совпала с точкой В, а отрезок МВ перенести параллельно вниз так, чтобы его точка М совпала с точкой К, то расстояние d окажется гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 120 км и 60 + 100 = 160 (км). А это получается египетский треугольник, растянутый в 40 раз. Значит гипотенуза будет равна 5х40 = 200 (км)

Ответ: 200


Задание 30. Проценты. Текстовые задачи.
В один день гражданин заключил с двумя банками кредитные соглашения сроком на год. С первым банком – под 12% годовых, со вторым – под 15% годовых. Всего он получил в кредит 5000 гривен. Погашение кредитов происходит единоразовым платежом в последний день действия соглашения. Начисленная сумма процентов за пользование кредитами составляет 654 гривны. Сколько денег гражданин взял в кредит под бОльшие проценты?

Решение
Обозначим то, что нам надо узнать, а именно, сумму денег, взятую во втором банке, за х. Тогда в первом банке он взял 5000 – x гривен. В первом банке ему начислили 12% за год пользования кредитом, так что туда он переплатил 0,12(5000 – x) гривен. А во втором, где брал под 15%, переплата составила 0,15x (грн). А по условию всего было переплачено 654 грн. Имеем уравнение:
0,12(5000 – x) + 0,15x = 654
600 + 0,03x = 654
0,03x = 54
x = 1800

Значит, под бОльшие проценты он взлял 1800 гривен.

Ответ: 1800

Задание 31. Стереометрия. Призма.
Вокруг правильной треугольной призмы описана сфера радиуса 6 см. Радиус сферы, проведённый к вершине призмы, образует с боковым ребром угол в 30^o. Найдите объём призмы (в см³)

Решение
Рассмотрим призму ABCA₁B₁C₁

Опустим из центра описанной сферы О перпендикуляры ОN на боковое ребро и OO₁ на основание. Точка N будет серединой бокового ребра, а точка O₁ – центром описанной окружности. По условию угол OBN равен 30^o. Тогда угол OBO₁ составит 60^o

 Из треугольника OBN найдём см, значит высота призмы см.
Из треугольника OBO₁ найдём O₁B = 3 см. Поскольку в равностороннем треугольнике со стороной а радиус описанной окружности равен , то сторона основания . .

В таком случае площадь основания составит:

Объём же пирамиды – это произведение площади основания на высоту.
(см³)

Ответ: 121,5 см³


Задание 32. Логарифм. Уравнения с параметром.
Найдите все значения параметра а, при которых произведение корней уравнения log₂²x – (2a² – a)log₂x + 1 – 2a = 0 равняется восьми. Если такое а единственно, запишите его в ответ. Если таких значений больше одного, то в ответ запишите наименьшее из них.

Решение
ОДЗ: x > 0
Сделаем замену log₂x = t. Тогда уравнение примет вид:
t² – (2a² – a)t + 1 – 2a = 0
если в исходном уравнении были корни x₁ и x₂ и x₁x₂ = 8, то каким должно быть соотношение между корнями t₁ = log₂x₁ и t₂ = log₂x₂ нового уравнения?

Прологарифмируем исходное соотношение
x₁x₂ = 8
log₂(x₁x₂) = log₂8
log₂x₁ + log₂x₂ = 3
t₁ + t₂ = 3

Значит, сумма корней нового уравнения должна равняться трём. Но при этом они должны существовать, так что дискриминант его должен быть неотрицательным.
D = (2a² – a)² – 4(1 – 2a) = 4a⁴ – 4a³ + a² + 8a – 4
В эту формулу будем потом подставлять найденные а.

Сумма корней квадратного уравнения – это коэффициент при первой степени неизвестного, взятый с противоположным знаком.
(2a² – a) = 3
2a² – a – 3 = 0

Корни:
a₁ = -1. D = 4 + 4 + 1 – 8 – 4 < 0 Так что при этом значении параметра а действительных корней не будет вовсе.
a₂ = 1,5. D = 20,25 – 13,5 + 2,25 + 12 – 4 > 0. А этот подходит.

Ответ: 1,5