Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 21 - 24, взаимосвязи)

Задание 21. Тригонометрия
К каждому выражению (1 – 4) подберите тождественно ему равное (А – Д).

Выражения
1. 1–cos²x
2. 2sinxcosx
3. cos²x-sin²x
4. (1-sinx)(1+sinx)

Преобразованные выражения
A. cos²x
Б. cos2x
В. sin2x
Г. –cos2x
Д. sin²x

Решение:
Приведу ссылку на приёмы того, как запомнить тригонометрические формулы. Зная самые простые из них, легко получается ответ.
Ответ:
1Д, 2В, 3Б, 4А

Задание 22. Стереометрия. Параллелепипед. Параллельность. Сечения.
ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Каждой закрашенной плоскости (1 – 4) поставьте в соответствие параллельную ей прямую (А – Д)
Плоскость

Прямая
А. BC
Б. A₁D
В. A₁B
Г. BD
Д. DD₁


Решение:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости. Поскольку в параллелепипеде есть три четвёрки параллельных рёбер, а также диагонали противоположных граней параллельны, это поможет найти правильные ответы.
Ответ:
1А, 2В, 3Д, 4Г.

Задание 23. Неравенства
Решите неравенства (1 – 4). Каждому неравенству поставьте в соответстсвие множество всех его решений (А – Д)

Неравенства
1. 5^x-2>1
2.
3. log₂x < 1
4. x²<4

Решения
А.
Б. (-2;2)
В. (0;2)
Г.
Д.


Решение:
Первое неравенство, показательное, решается так:
5^{x - 2}>1
5^{x - 2}>5⁰
x – 2 > 0
x > 2
Вариант Д.

Из решения второго неравенства, рационального, во-первых, следует исключить точку x = -2. Далее преобразовываем:


Числитель всегда положителен, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя.
x + 2<0
x <-2
Вариант Г.

Третье неравенство, логарифмическое, имеет ОДЗ x > 0. Преобразовываем:
log₂x < 1
log₂x < log₂2
Т.к. основание больше нуля, знак логарифма просто убираем
x < 2
А с учётом ОДЗ это даст не вариант А (ловушку), а вариант В.

Четвёрное неравенство, квадратичное, решается тоже просто. После извлечения корня из обеих частей получим
|x| < 2
А, по правилам действий с модулями, оно его решением будет одновременное выполнение условий x < 2 и x > -2. Так что, здесь вариант Б.

Ответ:
1Д, 2Г, 3В, 4Б.

Задание 24. Графики функций
На каждом графике (1 – 4) изображена прямая. Каждой прямой поставьте в соответствие функцию (А – Д), график которой не имеет с этой прямой общих точек.
Графики

Функции
А. y = x
Б. y = log₂x
В. y = (x-2)²
Г.
Д. y = x³

Решение:
Достаточно вспомнить, как выглядят графики функций. Кстати, для их построения можно воспользоваться отличным сервисом Вольфрам-Альфа.

Например, y = x и график 1 будут параллельны, и, следовательно, не иметь общих точек.

y = log₂x не будет заходить в левую полуплоскость, а в правой будет расти медленнее, чем линейная функция. Поэтому он не пересечётся с графиком 2.

y = (x-2)² находится только в верхней полуплоскости, поэтому он не будет иметь общих точек с прямой 4.

А прямая 3 будет асимптотой (кстати, знаете, как запомнить, почему там одна буква «с»?) для графика функции Г.

Ответ: 1А, 2Б, 3Г, 4В