Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 16 - 20)

Задание 16. Стереометрия. Цилиндр.
Цилиндр, радиус основания которого равен 4 см, высота – 12 см, разрезали плоскостью, параллельной основанию. Получилось 2 цилиндра (см. рис.). Чему равна их суммарная площадь полной поверхности.

Варианты ответа:
А см²; Б см²; В см²; Г см²; Д см²;


Решение:
Когда большой цилиндр разрезали, образовалось 2 дополнительных основания. Значит, искомая полная поверхность равна S_бок + 4 S_осн = (см²)
Ответ: Д см²


Задание 17. Иррациональные числа
Упростите выражение
Варианты ответа:
А 2; Б ; В ; Г ; Д ;


Решение:
Если в знаменателе дроби есть иррациональное выражение, её числитель и знаменатель нужно домножить на такое выражение, которое устранило иррациональность оттуда. В данном случае, нужно домножить на . Получим:

Ответ: Д


Задание 18. Текстовые задачи. Планиметрия. Длина окружности.
На рисунке изображён эскиз эмблемы фирмы N. Эмблема имеет форму окружности, внутри которой расположены 3 одинаковых полуокружности. Один конец каждой полуокружности совпадает с центром большой окружности, а другой лежит на ней. Нужно изготовить эмблему радиусом 2 м. Все её элементы будут сделаны из гибкого материала ценой 100 гривен за 1 метр длины. Укажите среди приведённых сумм наименьшую, которой хватит на приобретение материала для эмблемы. Считайте, что места соединения элементов эмблемы, обозначенные точками на рисунке, не требуют дополнительных затрат.

Варианты ответа:
А 3000 грн.; Б 2720 грн.; В 2540 грн.; Г 2310 грн.; Д 2170 грн.;


Решение:
Длина внешней окружности равна (м). Каждая из внутренних полуокружностей имеет радиус 1 м, значит, их суммарная длина равна м. Итого м. Воспользовавшись приближением , получим, что заплатить потребуется примерно 2200 грн. Наименьшая из приведённых сумм, которой хватит на покупку, это 2310 грн. Она и будет ответом.
Ответ: Г 2310 грн.


Задание 19. Интеграл. Производная
Какая из приведённых функций является первообразной для функции f(x) = 2 + sin2x?
Варианты ответа:
А F(x) = 2x - 0,5cos2x; Б F(x) = 2x + 0,5cos2x; В F(x) = 2x + 2cos2x; Г F(x) = 2cos2x; Д F(x) = 2x - cos2x;


Решение:
Возьмём интеграл

При С = 0 это будет вариант А.
Ответ: А F(x) = 2x - 0,5cos2x;


Задание 20. Графики функций
На одном из рисунков изображён эскиз графика . Укажите его.
Варианты ответа:

Решение:
Если перед аргументом функции стоит знак минус, то график отражается относительно оси ординат. Поэтому правильным ответом будет вариант Г.
Ответ: Г.

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 11-15)

Задание 11. Системы уравнений
Сколько решений имеет система уравнений:
Варианты ответа:
А ни одного; Б один; В два; Г три; Д более трёх;

Решение:
Сложив уравнения системы, получим: 2x² = -2. Это уравнение решений в действительных числах не имеет, значит, и у исходной системы корней нет.
Ответ: А ни одного

Задание 12. Арифметическая прогрессия.
Из аэропорта авиарейсы по расписанию производятся каждые 10 минут. Первый самолёт вылетел в 6 часов утра. В котором часу по расписанию будет вылет 30-го самолёта?
Варианты ответа:
А 10 ч 40 мин; Б 10 ч 50 мин; В 11 ч 00 мин; Г 11 ч 30 мин; Д 12 ч 00 мин;

Решение:
Вылет 30-го самолёта произойдёт через 29 10-тиминутных интервалов, т.е. через 290 минут. Этот составит 4 часа 50 минут. Выходит, вылет запланирован на 10 ч 50 мин.
Ответ: Б 10 ч 50 мин

Задание 13. Логарифм
Вычислите log₂16
Варианты ответа:
А ; Б ; В 1; Г 8; Д 12;

Решение:
Преобразуем данный логарифм:
(Потому, что показатель степени из основания логарифма выходит как знаменатель, а из логарифмируемого выражения – как числитель дроби-коэффициента перед логарифмом)
Ответ: Б

Задание 14. Стереометрия. Пирамида. Объём
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а объём – 64 см ³. Найдите высоту пирамиды.
текст
Варианты ответа:
А см; Б 4 см; В 8 см; Г 12 см; Д 16 см;

Решение:
Объём пирамиды втрое меньше произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна 4² = 16 (см²). Значит, высота её равна (см)
Ответ: Г 12 см

Задание 15. Уравнения. Модули.
У какого из приведённых уравнений бесчисленное множество корней?
Варианты ответа:
А ; Б x = –x; В |x| = x; Г |–x| = 2; Д |x| = –3;

Решение:
У первого уравнения корней нет совсем, т.к. косинус не может превосходить единицы. У второго единственный корень: x = 0. А вот третьему удовлетворяют все неотрицательные числа. Дальше перебирать не стоит – ответ найден.
Ответ: В |x| = x

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 6-10)

Задание 6. Алгебра. Уравнения
Решите уравнение
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д 6;

Решение:
Выполняем преобразования:
2(3x – 4) = x + 1
6x – 8 = x + 1
5x = 9

Ответ: Г


Задание 7. Планиметрия. Ромб
Какие утверждения правильны?
I. Противоположные углы ромба равны.
II. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
III. В любой ромб можно вписать окружность
Варианты ответа:
А Только I и II; Б Только I и III; В Только II и III; Г Только II; Д I, II и III;

Решение:
Достаточно помнить определение и свойства ромба, чтобы понять, что все три утверждения верны.
Ответ: Д I, II и III

Задание 8. Текстовые задачи
Станок с автоматическим управлением работает с постоянной продуктивностью и изготавливает 40 деталей за t часов (t > 5). Укажите выражение для определения количества деталей, которые станок изготовит за 5 часов.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г 8t; Д ;

Решение:
За 1 час станок изготовит деталей. А за 5 часов – в 5 раз больше, т.е. деталей. Кстати, условие (t > 5) оказалось вообще ненужным.
Ответ: Д

Задание 9. Планиметрия. Векторы

На рисунке изображён квадрат ABCD. Укажите правильное векторное равенство.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д ;

Решение:
По правилу параллелограмма, вектор является суммой векторов и
Ответ: В

Задание 10. Планиметрия. Площадь треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник АВС (см. рис.) Считайте, что каждая клетка – квадрат со стороной 1 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
Варианты ответа:
А 6 см²; Б 6,5 см²; В 7 см²; Г 7,5 см²; Д 8 см²;

Решение:
По клеткам определяем, что длина основания АС треугольника АВС равно 5 см, а его высота равна 3 см. Таким образом, площадь его равна (см²)
Ответ: Г 7,5 см²

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 1-5)

Задание 1. Алгебра, степени с целым показателем

Варианты ответа:
А 600; Б 900; В 6000; Г 9000; Д 3⁶;

Решение:
Просто выполним действия:

Ответ: Б 900


Задание 2. Статистика
Укажите размах ряда данных: 3, 5, 5, 13, 18, 15, 12
Варианты ответа:
А 18; Б 15; В 12; Г 9; Д 3;

Решение:
Почему-то в предыдущие годы в заданиях по математической статистике растолковывали, что такое мода, медиана выборки и т.п. А на этот раз объяснения нет и требуется знать, что такое размах данных. Хотя, с другой стороны, просто с точки зрения здравого смысла можно догадаться, что искомая величина равна разности между наибольшим и наименьшим элементами выборки. То есть: 18 – 3 = 15.
Ответ: Б 15


Задание 3. Планиметрия. Вертикальные углы.

Три прямые, расположенные в одной плоскости, пересекаются в одной точке (см. рис.). Определите градусную меру угла
Варианты ответа:
А 101^o; Б 99^o; В 81^o; Г 79^o; Д 69^o;

Решение:
Угол, расположенный между известными углами по 52 и 49 градусов будет также равен , как вертикальный. С другой стороны, его величина равняется 180 – 52 – 49 = 79 (градусов)
Ответ: Г 79^o


Задание 4. Рациональные функции.
Найдите область определения функции

Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д

Решение:
Знаменатель обращается в 0 при x = 1. Значит, только эта точка и должна быть исключена из области определения.
Ответ: В


Задание 5. Стереометрия. Система координат
В прямоугольной системе координат в пространстве найдите расстояние от точки М(0; 8; 6) до оси Оу.
Варианты ответа:
А 6; Б 7; В 8; Г 10; Д 14;

Решение:
Т.к. её первая координата равна 0, то точка М лежит в плоскости Oyz. Значит, расстояние до оси Oy будет равно координате по z.
Ответ: А 6