Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 29 - 32)

Задание 29. Планиметрия
На рисунке изображена траектория движения автомобиля из пункта А в пункт В. Она состоит из трёх прямолинейных участков: АК, КМ и МВ. Определите расстояние d между пунктами А и В, если АК = 60 км, КМ = 120 км, МВ = 100 км (все отрезки лежат в одной плоскости)


Решение
Если отрезок МВ параллельно перенести вправо так, чтобы точка М совпала с точкой В, а отрезок МВ перенести параллельно вниз так, чтобы его точка М совпала с точкой К, то расстояние d окажется гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 120 км и 60 + 100 = 160 (км). А это получается египетский треугольник, растянутый в 40 раз. Значит гипотенуза будет равна 5х40 = 200 (км)

Ответ: 200


Задание 30. Проценты. Текстовые задачи.
В один день гражданин заключил с двумя банками кредитные соглашения сроком на год. С первым банком – под 12% годовых, со вторым – под 15% годовых. Всего он получил в кредит 5000 гривен. Погашение кредитов происходит единоразовым платежом в последний день действия соглашения. Начисленная сумма процентов за пользование кредитами составляет 654 гривны. Сколько денег гражданин взял в кредит под бОльшие проценты?

Решение
Обозначим то, что нам надо узнать, а именно, сумму денег, взятую во втором банке, за х. Тогда в первом банке он взял 5000 – x гривен. В первом банке ему начислили 12% за год пользования кредитом, так что туда он переплатил 0,12(5000 – x) гривен. А во втором, где брал под 15%, переплата составила 0,15x (грн). А по условию всего было переплачено 654 грн. Имеем уравнение:
0,12(5000 – x) + 0,15x = 654
600 + 0,03x = 654
0,03x = 54
x = 1800

Значит, под бОльшие проценты он взлял 1800 гривен.

Ответ: 1800

Задание 31. Стереометрия. Призма.
Вокруг правильной треугольной призмы описана сфера радиуса 6 см. Радиус сферы, проведённый к вершине призмы, образует с боковым ребром угол в 30^o. Найдите объём призмы (в см³)

Решение
Рассмотрим призму ABCA₁B₁C₁

Опустим из центра описанной сферы О перпендикуляры ОN на боковое ребро и OO₁ на основание. Точка N будет серединой бокового ребра, а точка O₁ – центром описанной окружности. По условию угол OBN равен 30^o. Тогда угол OBO₁ составит 60^o

 Из треугольника OBN найдём см, значит высота призмы см.
Из треугольника OBO₁ найдём O₁B = 3 см. Поскольку в равностороннем треугольнике со стороной а радиус описанной окружности равен , то сторона основания . .

В таком случае площадь основания составит:

Объём же пирамиды – это произведение площади основания на высоту.
(см³)

Ответ: 121,5 см³


Задание 32. Логарифм. Уравнения с параметром.
Найдите все значения параметра а, при которых произведение корней уравнения log₂²x – (2a² – a)log₂x + 1 – 2a = 0 равняется восьми. Если такое а единственно, запишите его в ответ. Если таких значений больше одного, то в ответ запишите наименьшее из них.

Решение
ОДЗ: x > 0
Сделаем замену log₂x = t. Тогда уравнение примет вид:
t² – (2a² – a)t + 1 – 2a = 0
если в исходном уравнении были корни x₁ и x₂ и x₁x₂ = 8, то каким должно быть соотношение между корнями t₁ = log₂x₁ и t₂ = log₂x₂ нового уравнения?

Прологарифмируем исходное соотношение
x₁x₂ = 8
log₂(x₁x₂) = log₂8
log₂x₁ + log₂x₂ = 3
t₁ + t₂ = 3

Значит, сумма корней нового уравнения должна равняться трём. Но при этом они должны существовать, так что дискриминант его должен быть неотрицательным.
D = (2a² – a)² – 4(1 – 2a) = 4a⁴ – 4a³ + a² + 8a – 4
В эту формулу будем потом подставлять найденные а.

Сумма корней квадратного уравнения – это коэффициент при первой степени неизвестного, взятый с противоположным знаком.
(2a² – a) = 3
2a² – a – 3 = 0

Корни:
a₁ = -1. D = 4 + 4 + 1 – 8 – 4 < 0 Так что при этом значении параметра а действительных корней не будет вовсе.
a₂ = 1,5. D = 20,25 – 13,5 + 2,25 + 12 – 4 > 0. А этот подходит.

Ответ: 1,5

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 16 - 20)

Задание 16. Стереометрия. Цилиндр.
Цилиндр, радиус основания которого равен 4 см, высота – 12 см, разрезали плоскостью, параллельной основанию. Получилось 2 цилиндра (см. рис.). Чему равна их суммарная площадь полной поверхности.

Варианты ответа:
А см²; Б см²; В см²; Г см²; Д см²;


Решение:
Когда большой цилиндр разрезали, образовалось 2 дополнительных основания. Значит, искомая полная поверхность равна S_бок + 4 S_осн = (см²)
Ответ: Д см²


Задание 17. Иррациональные числа
Упростите выражение
Варианты ответа:
А 2; Б ; В ; Г ; Д ;


Решение:
Если в знаменателе дроби есть иррациональное выражение, её числитель и знаменатель нужно домножить на такое выражение, которое устранило иррациональность оттуда. В данном случае, нужно домножить на . Получим:

Ответ: Д


Задание 18. Текстовые задачи. Планиметрия. Длина окружности.
На рисунке изображён эскиз эмблемы фирмы N. Эмблема имеет форму окружности, внутри которой расположены 3 одинаковых полуокружности. Один конец каждой полуокружности совпадает с центром большой окружности, а другой лежит на ней. Нужно изготовить эмблему радиусом 2 м. Все её элементы будут сделаны из гибкого материала ценой 100 гривен за 1 метр длины. Укажите среди приведённых сумм наименьшую, которой хватит на приобретение материала для эмблемы. Считайте, что места соединения элементов эмблемы, обозначенные точками на рисунке, не требуют дополнительных затрат.

Варианты ответа:
А 3000 грн.; Б 2720 грн.; В 2540 грн.; Г 2310 грн.; Д 2170 грн.;


Решение:
Длина внешней окружности равна (м). Каждая из внутренних полуокружностей имеет радиус 1 м, значит, их суммарная длина равна м. Итого м. Воспользовавшись приближением , получим, что заплатить потребуется примерно 2200 грн. Наименьшая из приведённых сумм, которой хватит на покупку, это 2310 грн. Она и будет ответом.
Ответ: Г 2310 грн.


Задание 19. Интеграл. Производная
Какая из приведённых функций является первообразной для функции f(x) = 2 + sin2x?
Варианты ответа:
А F(x) = 2x - 0,5cos2x; Б F(x) = 2x + 0,5cos2x; В F(x) = 2x + 2cos2x; Г F(x) = 2cos2x; Д F(x) = 2x - cos2x;


Решение:
Возьмём интеграл

При С = 0 это будет вариант А.
Ответ: А F(x) = 2x - 0,5cos2x;


Задание 20. Графики функций
На одном из рисунков изображён эскиз графика . Укажите его.
Варианты ответа:

Решение:
Если перед аргументом функции стоит знак минус, то график отражается относительно оси ординат. Поэтому правильным ответом будет вариант Г.
Ответ: Г.

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 6-10)

Задание 6. Алгебра. Уравнения
Решите уравнение
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д 6;

Решение:
Выполняем преобразования:
2(3x – 4) = x + 1
6x – 8 = x + 1
5x = 9

Ответ: Г


Задание 7. Планиметрия. Ромб
Какие утверждения правильны?
I. Противоположные углы ромба равны.
II. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
III. В любой ромб можно вписать окружность
Варианты ответа:
А Только I и II; Б Только I и III; В Только II и III; Г Только II; Д I, II и III;

Решение:
Достаточно помнить определение и свойства ромба, чтобы понять, что все три утверждения верны.
Ответ: Д I, II и III

Задание 8. Текстовые задачи
Станок с автоматическим управлением работает с постоянной продуктивностью и изготавливает 40 деталей за t часов (t > 5). Укажите выражение для определения количества деталей, которые станок изготовит за 5 часов.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г 8t; Д ;

Решение:
За 1 час станок изготовит деталей. А за 5 часов – в 5 раз больше, т.е. деталей. Кстати, условие (t > 5) оказалось вообще ненужным.
Ответ: Д

Задание 9. Планиметрия. Векторы

На рисунке изображён квадрат ABCD. Укажите правильное векторное равенство.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д ;

Решение:
По правилу параллелограмма, вектор является суммой векторов и
Ответ: В

Задание 10. Планиметрия. Площадь треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник АВС (см. рис.) Считайте, что каждая клетка – квадрат со стороной 1 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
Варианты ответа:
А 6 см²; Б 6,5 см²; В 7 см²; Г 7,5 см²; Д 8 см²;

Решение:
По клеткам определяем, что длина основания АС треугольника АВС равно 5 см, а его высота равна 3 см. Таким образом, площадь его равна (см²)
Ответ: Г 7,5 см²