Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 25 - 28)

Задание 25. Многочлены
Упростите выражение 2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) и вычислите его значение, если a = 1,1, b = 0,8

Решение
2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) = 2a² - 10ab + 8b² - 6a² + 6ab - 9b² = -4a² - 4ab - b² = -(2a + b) ² = -(2,2 + 0,8) ² = -9

Ответ: -9


Задание 26. Иррациональные уравнения
Решите уравнение .
Если у уравнения 1 корень, запишите его в ответ. Если корней больше – укажите произведение всех корней. Если у уравнения нет корней, запишите в ответ число 100.


Решение
Находим ОДЗ: x > 2 и x > -0,5. Сильнейшее из этих неравенств x > 2.
Теперь можно возвести обе части в квадрат:
(x - 2)(2x + 1) = 3
2x² – 3x – 2 = 3
2x² – 3x – 5 = 0
Хотя уравнение и неприведённое, его тоже можно решить, задействовав теорему Виета. Получаем x₁ = -1, не входит в ОДЗ, а x₂ = 2,5 – подходит.


Ответ: 2,5


Задание 27. Наибольшее значение функции.
Найдите наибольшее значение функции y = 12x - x³ на отрезке [0; 3].

Решение
Функция – многочлен, разрывов не имеет, поэтому сначала возьмём производную.
y’ = 12 - 3x²
Приравняем её к нулю:
12 - 3x² = 0
3x² = 12
x² = 4
x₁ = -2
x₂ = 2

Промежутку принадлежит только x₂. Поэтому нам надо проверить значение функции в трёх точках: в ней и на краях промежутка.
y(0) = 0
y(2) = 24 – 8 = 16
y(3) = 36 – 27 = 9.

Наибольшим значением будет 16. Кстати, края можно было и не проверять, если, взяв вторую производную, убедиться, что в точке x = 2 именно максимум.

Ответ: 16


Задание 28. Комбинаторика
Сколько всего существует разных двузначных чисел, у которых первая цифра чётная, а вторая – нечётная?

Решение
Первой цифрой может быть: 2, 4, 6 или 8. Всего 4 варианта. Второй цифрой может быть: 1, 3, 5, 7, 9 – итого 5 вариантов. Значит, их комбинаций будет 4х5 = 20.

Ответ: 20

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 11-15)

Задание 11. Системы уравнений
Сколько решений имеет система уравнений:
Варианты ответа:
А ни одного; Б один; В два; Г три; Д более трёх;

Решение:
Сложив уравнения системы, получим: 2x² = -2. Это уравнение решений в действительных числах не имеет, значит, и у исходной системы корней нет.
Ответ: А ни одного

Задание 12. Арифметическая прогрессия.
Из аэропорта авиарейсы по расписанию производятся каждые 10 минут. Первый самолёт вылетел в 6 часов утра. В котором часу по расписанию будет вылет 30-го самолёта?
Варианты ответа:
А 10 ч 40 мин; Б 10 ч 50 мин; В 11 ч 00 мин; Г 11 ч 30 мин; Д 12 ч 00 мин;

Решение:
Вылет 30-го самолёта произойдёт через 29 10-тиминутных интервалов, т.е. через 290 минут. Этот составит 4 часа 50 минут. Выходит, вылет запланирован на 10 ч 50 мин.
Ответ: Б 10 ч 50 мин

Задание 13. Логарифм
Вычислите log₂16
Варианты ответа:
А ; Б ; В 1; Г 8; Д 12;

Решение:
Преобразуем данный логарифм:
(Потому, что показатель степени из основания логарифма выходит как знаменатель, а из логарифмируемого выражения – как числитель дроби-коэффициента перед логарифмом)
Ответ: Б

Задание 14. Стереометрия. Пирамида. Объём
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а объём – 64 см ³. Найдите высоту пирамиды.
текст
Варианты ответа:
А см; Б 4 см; В 8 см; Г 12 см; Д 16 см;

Решение:
Объём пирамиды втрое меньше произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна 4² = 16 (см²). Значит, высота её равна (см)
Ответ: Г 12 см

Задание 15. Уравнения. Модули.
У какого из приведённых уравнений бесчисленное множество корней?
Варианты ответа:
А ; Б x = –x; В |x| = x; Г |–x| = 2; Д |x| = –3;

Решение:
У первого уравнения корней нет совсем, т.к. косинус не может превосходить единицы. У второго единственный корень: x = 0. А вот третьему удовлетворяют все неотрицательные числа. Дальше перебирать не стоит – ответ найден.
Ответ: В |x| = x

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 6-10)

Задание 6. Алгебра. Уравнения
Решите уравнение
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д 6;

Решение:
Выполняем преобразования:
2(3x – 4) = x + 1
6x – 8 = x + 1
5x = 9

Ответ: Г


Задание 7. Планиметрия. Ромб
Какие утверждения правильны?
I. Противоположные углы ромба равны.
II. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
III. В любой ромб можно вписать окружность
Варианты ответа:
А Только I и II; Б Только I и III; В Только II и III; Г Только II; Д I, II и III;

Решение:
Достаточно помнить определение и свойства ромба, чтобы понять, что все три утверждения верны.
Ответ: Д I, II и III

Задание 8. Текстовые задачи
Станок с автоматическим управлением работает с постоянной продуктивностью и изготавливает 40 деталей за t часов (t > 5). Укажите выражение для определения количества деталей, которые станок изготовит за 5 часов.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г 8t; Д ;

Решение:
За 1 час станок изготовит деталей. А за 5 часов – в 5 раз больше, т.е. деталей. Кстати, условие (t > 5) оказалось вообще ненужным.
Ответ: Д

Задание 9. Планиметрия. Векторы

На рисунке изображён квадрат ABCD. Укажите правильное векторное равенство.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д ;

Решение:
По правилу параллелограмма, вектор является суммой векторов и
Ответ: В

Задание 10. Планиметрия. Площадь треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник АВС (см. рис.) Считайте, что каждая клетка – квадрат со стороной 1 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
Варианты ответа:
А 6 см²; Б 6,5 см²; В 7 см²; Г 7,5 см²; Д 8 см²;

Решение:
По клеткам определяем, что длина основания АС треугольника АВС равно 5 см, а его высота равна 3 см. Таким образом, площадь его равна (см²)
Ответ: Г 7,5 см²