Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 21 - 24, взаимосвязи)

Задание 21. Тригонометрия
К каждому выражению (1 – 4) подберите тождественно ему равное (А – Д).

Выражения
1. 1–cos²x
2. 2sinxcosx
3. cos²x-sin²x
4. (1-sinx)(1+sinx)

Преобразованные выражения
A. cos²x
Б. cos2x
В. sin2x
Г. –cos2x
Д. sin²x

Решение:
Приведу ссылку на приёмы того, как запомнить тригонометрические формулы. Зная самые простые из них, легко получается ответ.
Ответ:
1Д, 2В, 3Б, 4А

Задание 22. Стереометрия. Параллелепипед. Параллельность. Сечения.
ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Каждой закрашенной плоскости (1 – 4) поставьте в соответствие параллельную ей прямую (А – Д)
Плоскость

Прямая
А. BC
Б. A₁D
В. A₁B
Г. BD
Д. DD₁


Решение:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости. Поскольку в параллелепипеде есть три четвёрки параллельных рёбер, а также диагонали противоположных граней параллельны, это поможет найти правильные ответы.
Ответ:
1А, 2В, 3Д, 4Г.

Задание 23. Неравенства
Решите неравенства (1 – 4). Каждому неравенству поставьте в соответстсвие множество всех его решений (А – Д)

Неравенства
1. 5^x-2>1
2.
3. log₂x < 1
4. x²<4

Решения
А.
Б. (-2;2)
В. (0;2)
Г.
Д.


Решение:
Первое неравенство, показательное, решается так:
5^{x - 2}>1
5^{x - 2}>5⁰
x – 2 > 0
x > 2
Вариант Д.

Из решения второго неравенства, рационального, во-первых, следует исключить точку x = -2. Далее преобразовываем:


Числитель всегда положителен, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя.
x + 2<0
x <-2
Вариант Г.

Третье неравенство, логарифмическое, имеет ОДЗ x > 0. Преобразовываем:
log₂x < 1
log₂x < log₂2
Т.к. основание больше нуля, знак логарифма просто убираем
x < 2
А с учётом ОДЗ это даст не вариант А (ловушку), а вариант В.

Четвёрное неравенство, квадратичное, решается тоже просто. После извлечения корня из обеих частей получим
|x| < 2
А, по правилам действий с модулями, оно его решением будет одновременное выполнение условий x < 2 и x > -2. Так что, здесь вариант Б.

Ответ:
1Д, 2Г, 3В, 4Б.

Задание 24. Графики функций
На каждом графике (1 – 4) изображена прямая. Каждой прямой поставьте в соответствие функцию (А – Д), график которой не имеет с этой прямой общих точек.
Графики

Функции
А. y = x
Б. y = log₂x
В. y = (x-2)²
Г.
Д. y = x³

Решение:
Достаточно вспомнить, как выглядят графики функций. Кстати, для их построения можно воспользоваться отличным сервисом Вольфрам-Альфа.

Например, y = x и график 1 будут параллельны, и, следовательно, не иметь общих точек.

y = log₂x не будет заходить в левую полуплоскость, а в правой будет расти медленнее, чем линейная функция. Поэтому он не пересечётся с графиком 2.

y = (x-2)² находится только в верхней полуплоскости, поэтому он не будет иметь общих точек с прямой 4.

А прямая 3 будет асимптотой (кстати, знаете, как запомнить, почему там одна буква «с»?) для графика функции Г.

Ответ: 1А, 2Б, 3Г, 4В

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 16 - 20)

Задание 16. Стереометрия. Цилиндр.
Цилиндр, радиус основания которого равен 4 см, высота – 12 см, разрезали плоскостью, параллельной основанию. Получилось 2 цилиндра (см. рис.). Чему равна их суммарная площадь полной поверхности.

Варианты ответа:
А см²; Б см²; В см²; Г см²; Д см²;


Решение:
Когда большой цилиндр разрезали, образовалось 2 дополнительных основания. Значит, искомая полная поверхность равна S_бок + 4 S_осн = (см²)
Ответ: Д см²


Задание 17. Иррациональные числа
Упростите выражение
Варианты ответа:
А 2; Б ; В ; Г ; Д ;


Решение:
Если в знаменателе дроби есть иррациональное выражение, её числитель и знаменатель нужно домножить на такое выражение, которое устранило иррациональность оттуда. В данном случае, нужно домножить на . Получим:

Ответ: Д


Задание 18. Текстовые задачи. Планиметрия. Длина окружности.
На рисунке изображён эскиз эмблемы фирмы N. Эмблема имеет форму окружности, внутри которой расположены 3 одинаковых полуокружности. Один конец каждой полуокружности совпадает с центром большой окружности, а другой лежит на ней. Нужно изготовить эмблему радиусом 2 м. Все её элементы будут сделаны из гибкого материала ценой 100 гривен за 1 метр длины. Укажите среди приведённых сумм наименьшую, которой хватит на приобретение материала для эмблемы. Считайте, что места соединения элементов эмблемы, обозначенные точками на рисунке, не требуют дополнительных затрат.

Варианты ответа:
А 3000 грн.; Б 2720 грн.; В 2540 грн.; Г 2310 грн.; Д 2170 грн.;


Решение:
Длина внешней окружности равна (м). Каждая из внутренних полуокружностей имеет радиус 1 м, значит, их суммарная длина равна м. Итого м. Воспользовавшись приближением , получим, что заплатить потребуется примерно 2200 грн. Наименьшая из приведённых сумм, которой хватит на покупку, это 2310 грн. Она и будет ответом.
Ответ: Г 2310 грн.


Задание 19. Интеграл. Производная
Какая из приведённых функций является первообразной для функции f(x) = 2 + sin2x?
Варианты ответа:
А F(x) = 2x - 0,5cos2x; Б F(x) = 2x + 0,5cos2x; В F(x) = 2x + 2cos2x; Г F(x) = 2cos2x; Д F(x) = 2x - cos2x;


Решение:
Возьмём интеграл

При С = 0 это будет вариант А.
Ответ: А F(x) = 2x - 0,5cos2x;


Задание 20. Графики функций
На одном из рисунков изображён эскиз графика . Укажите его.
Варианты ответа:

Решение:
Если перед аргументом функции стоит знак минус, то график отражается относительно оси ординат. Поэтому правильным ответом будет вариант Г.
Ответ: Г.

Программа Независимого внешнего тестирования по математике: Геометрия

Название раздела, темы	Ученик должен знать	Предметные умения и способы учебной деятельности
	ГЕОМЕТРИЯ
	Раздел: ПЛАНИIМЕТРИЯ
Простейшие геометрические фигуры на плоскости и их свойства	- Понятие точки и прямой, луча, отрезка, ломаной, угла; - Аксиомы планиметрии; - Смежные и вертикальные углы, биссектриса угла; - Свойства смежных и вертикальных углов; - Свойство биссектрисы угла; - Параллельные и перпендикулярные прямые; - Перпендикуляр и наклонная, срединный перпендикуляр, расстояние от точки до прямой; - Признаки параллельности прямых; - Теорема Фалеса, обобщенная теорема Фалеса	- Применять определения, функции и свойства простейших геометрических фигур к решению планиметрических задач и задач практического содержания
Круг и окружность	- Круг, окружность и их элементы; - Центральные, вписанные углы и их свойства; - Свойства двух пересекающихся хорд; - Касательные к окружности и их свойства	- Применять полученные знания к решению планиметрических задач и задач практического содержания

Программа Независимого внешнего тестирования по математике: Алгебра

Название раздела, темы	Ученик должен знать	Предметные умения и способы учебной деятельности
	АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
	Раздел: ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ
Действительные числа (натуральные, целые, рациональные и иррациональные), их сравнение и действия с ними.Числовые множества и соотношения между ними	- Свойства действий с вещественными числами; - Правила сравнения вещественных чисел; - Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10; - Правила округления целых чисел и десятичных дробей; - Определение корня n-й степени и арифметического корня n-й степени; - Свойства кopней; - Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателями, их свойства; - Числовые промежутки; - Модуль действительного числа и его свойства	- Различать виды чисел и числовых промежутков; - Сравнивать действительные числа; - Выполнять действия с действительными числами; - Использовать признаки делимости; - Находить неполное частное и остаток от деления одного натурального числа на другое; - Превращать обыкновенную дробь в десятичную и бесконечную периодическую десятичную дробь - в обычную; - Округлять целые числа и десятичные дроби; - Использовать свойства модуля для решения задач