Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 25 - 28)

Задание 25. Многочлены
Упростите выражение 2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) и вычислите его значение, если a = 1,1, b = 0,8

Решение
2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) = 2a² - 10ab + 8b² - 6a² + 6ab - 9b² = -4a² - 4ab - b² = -(2a + b) ² = -(2,2 + 0,8) ² = -9

Ответ: -9


Задание 26. Иррациональные уравнения
Решите уравнение .
Если у уравнения 1 корень, запишите его в ответ. Если корней больше – укажите произведение всех корней. Если у уравнения нет корней, запишите в ответ число 100.


Решение
Находим ОДЗ: x > 2 и x > -0,5. Сильнейшее из этих неравенств x > 2.
Теперь можно возвести обе части в квадрат:
(x - 2)(2x + 1) = 3
2x² – 3x – 2 = 3
2x² – 3x – 5 = 0
Хотя уравнение и неприведённое, его тоже можно решить, задействовав теорему Виета. Получаем x₁ = -1, не входит в ОДЗ, а x₂ = 2,5 – подходит.


Ответ: 2,5


Задание 27. Наибольшее значение функции.
Найдите наибольшее значение функции y = 12x - x³ на отрезке [0; 3].

Решение
Функция – многочлен, разрывов не имеет, поэтому сначала возьмём производную.
y’ = 12 - 3x²
Приравняем её к нулю:
12 - 3x² = 0
3x² = 12
x² = 4
x₁ = -2
x₂ = 2

Промежутку принадлежит только x₂. Поэтому нам надо проверить значение функции в трёх точках: в ней и на краях промежутка.
y(0) = 0
y(2) = 24 – 8 = 16
y(3) = 36 – 27 = 9.

Наибольшим значением будет 16. Кстати, края можно было и не проверять, если, взяв вторую производную, убедиться, что в точке x = 2 именно максимум.

Ответ: 16


Задание 28. Комбинаторика
Сколько всего существует разных двузначных чисел, у которых первая цифра чётная, а вторая – нечётная?

Решение
Первой цифрой может быть: 2, 4, 6 или 8. Всего 4 варианта. Второй цифрой может быть: 1, 3, 5, 7, 9 – итого 5 вариантов. Значит, их комбинаций будет 4х5 = 20.

Ответ: 20

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 1-5)

Задание 1. Алгебра, степени с целым показателем

Варианты ответа:
А 600; Б 900; В 6000; Г 9000; Д 3⁶;

Решение:
Просто выполним действия:

Ответ: Б 900


Задание 2. Статистика
Укажите размах ряда данных: 3, 5, 5, 13, 18, 15, 12
Варианты ответа:
А 18; Б 15; В 12; Г 9; Д 3;

Решение:
Почему-то в предыдущие годы в заданиях по математической статистике растолковывали, что такое мода, медиана выборки и т.п. А на этот раз объяснения нет и требуется знать, что такое размах данных. Хотя, с другой стороны, просто с точки зрения здравого смысла можно догадаться, что искомая величина равна разности между наибольшим и наименьшим элементами выборки. То есть: 18 – 3 = 15.
Ответ: Б 15


Задание 3. Планиметрия. Вертикальные углы.

Три прямые, расположенные в одной плоскости, пересекаются в одной точке (см. рис.). Определите градусную меру угла
Варианты ответа:
А 101^o; Б 99^o; В 81^o; Г 79^o; Д 69^o;

Решение:
Угол, расположенный между известными углами по 52 и 49 градусов будет также равен , как вертикальный. С другой стороны, его величина равняется 180 – 52 – 49 = 79 (градусов)
Ответ: Г 79^o


Задание 4. Рациональные функции.
Найдите область определения функции

Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д

Решение:
Знаменатель обращается в 0 при x = 1. Значит, только эта точка и должна быть исключена из области определения.
Ответ: В


Задание 5. Стереометрия. Система координат
В прямоугольной системе координат в пространстве найдите расстояние от точки М(0; 8; 6) до оси Оу.
Варианты ответа:
А 6; Б 7; В 8; Г 10; Д 14;

Решение:
Т.к. её первая координата равна 0, то точка М лежит в плоскости Oyz. Значит, расстояние до оси Oy будет равно координате по z.
Ответ: А 6