Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 29 - 32)

Задание 29. Планиметрия
На рисунке изображена траектория движения автомобиля из пункта А в пункт В. Она состоит из трёх прямолинейных участков: АК, КМ и МВ. Определите расстояние d между пунктами А и В, если АК = 60 км, КМ = 120 км, МВ = 100 км (все отрезки лежат в одной плоскости)


Решение
Если отрезок МВ параллельно перенести вправо так, чтобы точка М совпала с точкой В, а отрезок МВ перенести параллельно вниз так, чтобы его точка М совпала с точкой К, то расстояние d окажется гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 120 км и 60 + 100 = 160 (км). А это получается египетский треугольник, растянутый в 40 раз. Значит гипотенуза будет равна 5х40 = 200 (км)

Ответ: 200


Задание 30. Проценты. Текстовые задачи.
В один день гражданин заключил с двумя банками кредитные соглашения сроком на год. С первым банком – под 12% годовых, со вторым – под 15% годовых. Всего он получил в кредит 5000 гривен. Погашение кредитов происходит единоразовым платежом в последний день действия соглашения. Начисленная сумма процентов за пользование кредитами составляет 654 гривны. Сколько денег гражданин взял в кредит под бОльшие проценты?

Решение
Обозначим то, что нам надо узнать, а именно, сумму денег, взятую во втором банке, за х. Тогда в первом банке он взял 5000 – x гривен. В первом банке ему начислили 12% за год пользования кредитом, так что туда он переплатил 0,12(5000 – x) гривен. А во втором, где брал под 15%, переплата составила 0,15x (грн). А по условию всего было переплачено 654 грн. Имеем уравнение:
0,12(5000 – x) + 0,15x = 654
600 + 0,03x = 654
0,03x = 54
x = 1800

Значит, под бОльшие проценты он взлял 1800 гривен.

Ответ: 1800

Задание 31. Стереометрия. Призма.
Вокруг правильной треугольной призмы описана сфера радиуса 6 см. Радиус сферы, проведённый к вершине призмы, образует с боковым ребром угол в 30^o. Найдите объём призмы (в см³)

Решение
Рассмотрим призму ABCA₁B₁C₁

Опустим из центра описанной сферы О перпендикуляры ОN на боковое ребро и OO₁ на основание. Точка N будет серединой бокового ребра, а точка O₁ – центром описанной окружности. По условию угол OBN равен 30^o. Тогда угол OBO₁ составит 60^o

 Из треугольника OBN найдём см, значит высота призмы см.
Из треугольника OBO₁ найдём O₁B = 3 см. Поскольку в равностороннем треугольнике со стороной а радиус описанной окружности равен , то сторона основания . .

В таком случае площадь основания составит:

Объём же пирамиды – это произведение площади основания на высоту.
(см³)

Ответ: 121,5 см³


Задание 32. Логарифм. Уравнения с параметром.
Найдите все значения параметра а, при которых произведение корней уравнения log₂²x – (2a² – a)log₂x + 1 – 2a = 0 равняется восьми. Если такое а единственно, запишите его в ответ. Если таких значений больше одного, то в ответ запишите наименьшее из них.

Решение
ОДЗ: x > 0
Сделаем замену log₂x = t. Тогда уравнение примет вид:
t² – (2a² – a)t + 1 – 2a = 0
если в исходном уравнении были корни x₁ и x₂ и x₁x₂ = 8, то каким должно быть соотношение между корнями t₁ = log₂x₁ и t₂ = log₂x₂ нового уравнения?

Прологарифмируем исходное соотношение
x₁x₂ = 8
log₂(x₁x₂) = log₂8
log₂x₁ + log₂x₂ = 3
t₁ + t₂ = 3

Значит, сумма корней нового уравнения должна равняться трём. Но при этом они должны существовать, так что дискриминант его должен быть неотрицательным.
D = (2a² – a)² – 4(1 – 2a) = 4a⁴ – 4a³ + a² + 8a – 4
В эту формулу будем потом подставлять найденные а.

Сумма корней квадратного уравнения – это коэффициент при первой степени неизвестного, взятый с противоположным знаком.
(2a² – a) = 3
2a² – a – 3 = 0

Корни:
a₁ = -1. D = 4 + 4 + 1 – 8 – 4 < 0 Так что при этом значении параметра а действительных корней не будет вовсе.
a₂ = 1,5. D = 20,25 – 13,5 + 2,25 + 12 – 4 > 0. А этот подходит.

Ответ: 1,5

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 21 - 24, взаимосвязи)

Задание 21. Тригонометрия
К каждому выражению (1 – 4) подберите тождественно ему равное (А – Д).

Выражения
1. 1–cos²x
2. 2sinxcosx
3. cos²x-sin²x
4. (1-sinx)(1+sinx)

Преобразованные выражения
A. cos²x
Б. cos2x
В. sin2x
Г. –cos2x
Д. sin²x

Решение:
Приведу ссылку на приёмы того, как запомнить тригонометрические формулы. Зная самые простые из них, легко получается ответ.
Ответ:
1Д, 2В, 3Б, 4А

Задание 22. Стереометрия. Параллелепипед. Параллельность. Сечения.
ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Каждой закрашенной плоскости (1 – 4) поставьте в соответствие параллельную ей прямую (А – Д)
Плоскость

Прямая
А. BC
Б. A₁D
В. A₁B
Г. BD
Д. DD₁


Решение:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости. Поскольку в параллелепипеде есть три четвёрки параллельных рёбер, а также диагонали противоположных граней параллельны, это поможет найти правильные ответы.
Ответ:
1А, 2В, 3Д, 4Г.

Задание 23. Неравенства
Решите неравенства (1 – 4). Каждому неравенству поставьте в соответстсвие множество всех его решений (А – Д)

Неравенства
1. 5^x-2>1
2.
3. log₂x < 1
4. x²<4

Решения
А.
Б. (-2;2)
В. (0;2)
Г.
Д.


Решение:
Первое неравенство, показательное, решается так:
5^{x - 2}>1
5^{x - 2}>5⁰
x – 2 > 0
x > 2
Вариант Д.

Из решения второго неравенства, рационального, во-первых, следует исключить точку x = -2. Далее преобразовываем:


Числитель всегда положителен, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя.
x + 2<0
x <-2
Вариант Г.

Третье неравенство, логарифмическое, имеет ОДЗ x > 0. Преобразовываем:
log₂x < 1
log₂x < log₂2
Т.к. основание больше нуля, знак логарифма просто убираем
x < 2
А с учётом ОДЗ это даст не вариант А (ловушку), а вариант В.

Четвёрное неравенство, квадратичное, решается тоже просто. После извлечения корня из обеих частей получим
|x| < 2
А, по правилам действий с модулями, оно его решением будет одновременное выполнение условий x < 2 и x > -2. Так что, здесь вариант Б.

Ответ:
1Д, 2Г, 3В, 4Б.

Задание 24. Графики функций
На каждом графике (1 – 4) изображена прямая. Каждой прямой поставьте в соответствие функцию (А – Д), график которой не имеет с этой прямой общих точек.
Графики

Функции
А. y = x
Б. y = log₂x
В. y = (x-2)²
Г.
Д. y = x³

Решение:
Достаточно вспомнить, как выглядят графики функций. Кстати, для их построения можно воспользоваться отличным сервисом Вольфрам-Альфа.

Например, y = x и график 1 будут параллельны, и, следовательно, не иметь общих точек.

y = log₂x не будет заходить в левую полуплоскость, а в правой будет расти медленнее, чем линейная функция. Поэтому он не пересечётся с графиком 2.

y = (x-2)² находится только в верхней полуплоскости, поэтому он не будет иметь общих точек с прямой 4.

А прямая 3 будет асимптотой (кстати, знаете, как запомнить, почему там одна буква «с»?) для графика функции Г.

Ответ: 1А, 2Б, 3Г, 4В

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 11-15)

Задание 11. Системы уравнений
Сколько решений имеет система уравнений:
Варианты ответа:
А ни одного; Б один; В два; Г три; Д более трёх;

Решение:
Сложив уравнения системы, получим: 2x² = -2. Это уравнение решений в действительных числах не имеет, значит, и у исходной системы корней нет.
Ответ: А ни одного

Задание 12. Арифметическая прогрессия.
Из аэропорта авиарейсы по расписанию производятся каждые 10 минут. Первый самолёт вылетел в 6 часов утра. В котором часу по расписанию будет вылет 30-го самолёта?
Варианты ответа:
А 10 ч 40 мин; Б 10 ч 50 мин; В 11 ч 00 мин; Г 11 ч 30 мин; Д 12 ч 00 мин;

Решение:
Вылет 30-го самолёта произойдёт через 29 10-тиминутных интервалов, т.е. через 290 минут. Этот составит 4 часа 50 минут. Выходит, вылет запланирован на 10 ч 50 мин.
Ответ: Б 10 ч 50 мин

Задание 13. Логарифм
Вычислите log₂16
Варианты ответа:
А ; Б ; В 1; Г 8; Д 12;

Решение:
Преобразуем данный логарифм:
(Потому, что показатель степени из основания логарифма выходит как знаменатель, а из логарифмируемого выражения – как числитель дроби-коэффициента перед логарифмом)
Ответ: Б

Задание 14. Стереометрия. Пирамида. Объём
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а объём – 64 см ³. Найдите высоту пирамиды.
текст
Варианты ответа:
А см; Б 4 см; В 8 см; Г 12 см; Д 16 см;

Решение:
Объём пирамиды втрое меньше произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна 4² = 16 (см²). Значит, высота её равна (см)
Ответ: Г 12 см

Задание 15. Уравнения. Модули.
У какого из приведённых уравнений бесчисленное множество корней?
Варианты ответа:
А ; Б x = –x; В |x| = x; Г |–x| = 2; Д |x| = –3;

Решение:
У первого уравнения корней нет совсем, т.к. косинус не может превосходить единицы. У второго единственный корень: x = 0. А вот третьему удовлетворяют все неотрицательные числа. Дальше перебирать не стоит – ответ найден.
Ответ: В |x| = x

Решения пробного ЗНО 2012 по математике (задачи 6-10)

Задание 6. Алгебра. Уравнения
Решите уравнение
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д 6;

Решение:
Выполняем преобразования:
2(3x – 4) = x + 1
6x – 8 = x + 1
5x = 9

Ответ: Г


Задание 7. Планиметрия. Ромб
Какие утверждения правильны?
I. Противоположные углы ромба равны.
II. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
III. В любой ромб можно вписать окружность
Варианты ответа:
А Только I и II; Б Только I и III; В Только II и III; Г Только II; Д I, II и III;

Решение:
Достаточно помнить определение и свойства ромба, чтобы понять, что все три утверждения верны.
Ответ: Д I, II и III

Задание 8. Текстовые задачи
Станок с автоматическим управлением работает с постоянной продуктивностью и изготавливает 40 деталей за t часов (t > 5). Укажите выражение для определения количества деталей, которые станок изготовит за 5 часов.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г 8t; Д ;

Решение:
За 1 час станок изготовит деталей. А за 5 часов – в 5 раз больше, т.е. деталей. Кстати, условие (t > 5) оказалось вообще ненужным.
Ответ: Д

Задание 9. Планиметрия. Векторы

На рисунке изображён квадрат ABCD. Укажите правильное векторное равенство.
Варианты ответа:
А ; Б ; В ; Г ; Д ;

Решение:
По правилу параллелограмма, вектор является суммой векторов и
Ответ: В

Задание 10. Планиметрия. Площадь треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник АВС (см. рис.) Считайте, что каждая клетка – квадрат со стороной 1 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
Варианты ответа:
А 6 см²; Б 6,5 см²; В 7 см²; Г 7,5 см²; Д 8 см²;

Решение:
По клеткам определяем, что длина основания АС треугольника АВС равно 5 см, а его высота равна 3 см. Таким образом, площадь его равна (см²)
Ответ: Г 7,5 см²